Cay Nhi Phan Tim Kiem

Cây tìm kiếm nhị phân:

Cây tìm kiếm nhị phân (viết tắt tiếng Anh: BST - Binary Search Tree) là một cấu trúc dữ liệu rất thuận lợi cho bài toán tìm kiếm.
Cây tìm kiếm ứng với n khóa  là cây nhị phân mà mỗi nút đều được gán một khóa sao cho với mỗi mỗi nút k:
Mọi khóa trên cây con trái đều nhỏ hơn khóa trên nút k
Mọi khóa trên cây con phải đều lớn hơn khóa trên nút k

Ảnh CNPTK

Cây tìm kiếm nhị phân là một cấu trúc dữ liệu cơ bản được sử dụng để xây dựng các cấu trúc dữ liệu trừu tượng hơn như các tập hợp, đa tập hợp, các dãy kết hợp.
Nếu một BST có chứa các giá trị giống nhau thì nó biểu diễn một đa tập hợp. Cây loại này sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Mọi nút trong cây con trái có khóa nhỏ hơn khóa của nút cha, mọi nút trên cây con phải có nút lớn hơn hoặc bằng khóa của nút cha.
Nếu một BST không chứa các giá trị giống nhau thì nó biểu diễn một tập hợp đơn trị như trong lý thuyết tập hợp. Cây loại này sử dụng các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Mọi nút trong cây con trái có khóa nhỏ hơn khóa của nút cha, mọi nút trên cây con phải có nút lớn hơn khóa của nút cha.
Việc chọn đưa các giá trị bằng nhau vào cây con phải (hay trái) là tùy theo mỗi người. Một số người cũng đưa các giá trị bằng nhau vào cả hai phía, nhưng khi đó việc tiìm kiếm trở nên phức tạp hơn.
Các phép toán trên BST

Tìm kiếm (Searching):

Việc tìm một khóa trên BST có thể thực hiện nhờ đệ quy. Chúng ta bắt đầu từ gốc. Nếu khóa cần tìm bằng khóa của gốc thì khóa đó trên cây, nếu khóa cần tìm nhỏ hơn khoa ở gốc, ta phải tìm nó trên cây con trái, nếu khóa cần tìm lớn hơn khóa ở gốc, ta phải tìm nó trên cây con phải. Nếu cây con (trái hoặc phải) là rỗng thì khóa cần tìm không có trên cây.

Search_binary_tree(node, key):
{
 if node is Null then
       return; None  /* key not found */
   
      if key < node.key:
          return search binary_tree(node.left, key);
           else
                if key > node.key  return search_binary_tree(node.right, key)
                else  /* key is equal to node key */
                    return node.value;  # found key
}


Thời gian tìm kiếm trung bình là O(log n), và là O(n) khi cây là không cân bằng chỉ là một danh sách liên kết.

Chèn (Insertion):

Phép chèn bắt đầu giống như phép tìm kiếm; Nếu khóa của gốc khác khóa cần chèn ta tìm nó trong cây con trái hoặc phải. Nếu cây con trái hoặc phải tương ứng là rỗng (không tìm thấy) thì thêm một nút và gán cho nút ấy khóa cần chèn.
Sau đây là mã trong C++ :
void InsertNode(struct node *&treeNode, struct node *newNode)
{ //Inserts node pointered by "newNode" to the subtree started by "treeNode"
    if (treeNode == NULL)
        treeNode = newNode; //Only changes "node" when it is NULL
    else if (newNode->value < treeNode->value)
        InsertNode(treeNode->left, newNode);
    else
        InsertNode(treeNode->right, newNode);
}

Xóa (Deletion)

Xét các trường hợp sau:

Xóa một lá: Vì lá không có con nên chỉ cần giải phóng nó khỏi cây.

Xóa nút có một con: Xóa và thay thế nó bằng con duy nhất của nó.

Xóa một nút có hai con: Xóa nút đó và thay thế nó bằng nút có khóa lớn nhất

trong các khóa nhỏ hơn khóa của nó (được gọi là "nút tiền nhiệm" -nút cực phải của cây con trái) hoặc nút có nhỏ nhất trong các khóa lớn hơn nó (được gọi là "nút kế vị" - nút cực trái của cây con phải) Cũng có thể tìm nút tiền nhiệm hoặc nút kế vị đổi chỗ nó với nút cần xóa và sau đó xóa nó. Vì các nút kiểu này có ít hơn hai con nên việc xóa nó được quy về hai trường hợp trước.

void DeleteNode(struct node*& node) {      

    if (node->left == NULL) { 

  struct node* temp = node;

        node = node->right;

        delete temp;

    } else if (node->right == NULL) {

     

        struct node* temp = node;

        node = node->left;

        delete temp;

       

    } else {

        // In-Order predecessor(right most child of left subtree) 

        // Node has two children - get max of left subtree

        struct node** temp = &(node->left); // get left node of the original node

        // find the right most child of the subtree of the left node

        while ((*temp)->right != NULL) {

            temp = &((*temp)->right);

        }

         

        // copy the value from the right most child of left subtree to the original node

        node->value = (*temp)->value;

        // then delete the right most child of left subtree since it's value is

        // now in the original node

        DeleteNode(*temp);

    }

}

Phép duyệt:

Khi một cây tìm kiếm nhị phân được tạo ra, tất cả các nút có thể được duyệt theo thứ tự giữa nhờ duyệt đệ qui cây con bên trái, in nút đang duyệt, rồi duyệt đệ qui cây con bên phải, tiếp tục làm như vây với mỗi nút của cây trong quá trình đệ qui. Với mọi cây nhị phân, cây có thể được duyệt theo thứ tự trước() hoặc theo thứ tự sau(), cả hai cách đều hữu dụng với cây tìm kiếm nhị phân.

Đoạn mã cho duyệt theo thứ giữa được viết dưới đây với C++ :

void traverse_binary_tree(struct node* n)

{

   if(n==null)     //Cay rong

       return;

   else

       {

           traverse_binary_tree(n->left);     //Duyet cay con trai theo thu tu giua

           printf("%d",n.key);                //Tham nut

           traverse_binary_tree(n->right);    //Duyet cay con phai theo thu tu giua

       }

}

Phép duyệt có độ phức tạp tính toán là Ω(n), vì nó phải duyệt qua tất cả các nút. Độ phức tạp trên cũng là O(“n”).